依据我国相关法律的规定，当事人及其近亲属或者受委托的律师向最高人民检察院提出不服死刑裁判的申诉，由负责死刑复核监督的部门审查。
《人民检察院刑事诉讼规则》
第六百零六条 当事人及其近亲属或者受委托的律师向最高人民检察院提出不服死刑裁判的申诉，由负责死刑复核监督的部门审查。
死刑是一种剥夺罪犯生命的最严厉的刑罚方法，执行死刑命令应当由最高人民法院院长签发，然后由高级人民法院交付原审人民法院执行。原审人民法院接到执行死刑命令后应当在7日内交付执行。但是，原审人民法院在执行死刑之前如果发现有下列情形之一的，应当停止执行死刑，并且立即报告最高人民法院，由最高人民法院作出裁定：
(1)在执行前发现判决可能有错误的。
(2)在执行前罪犯揭发重大犯罪事实或者有其他重大立功表现，可能需要改判的。
(3)罪犯正在怀孕的。
在停止执行的情况下，执行死刑的人民法院应当立即用书面形式报告核准死刑的人民法院，由院长签发停止执行死刑的命令。经过审查核实，如果认为原判决是正确的，必须报请核准的人民法院再签发执行死刑命令，才能执行。如果查明罪犯确实是正在怀孕的妇女，应当报请核准死刑的人民法院依法改判。
人民法院应当在交付执行死刑3日前，通知同级人民检察院派员临场监督。