依据我国相关法律的规定，公民可以立遗嘱将个人财产指定由法定继承人的一人或者数人继承，也可以上法定继承人以外的人，所以立下遗嘱与第一顺序继承人有没有关系，要依据遗嘱的内容而定。
《中华人民共和国继承法》
第十六条 公民可以依照本法规定立遗嘱处分个人财产，并可以指定遗嘱执行人。
公民可以立遗嘱将个人财产指定由法定继承人的一人或者数人继承。
公民可以立遗嘱将个人财产赠给国家、集体或者法定继承人以外的人。
法定继承具体适用于下列情况：
1、没有遗赠扶养协议，又没有合法遗嘱的情况下适用法定继承。
2、遗嘱继承人、受遗赠人先于遗嘱人死亡而遗嘱不生效的，适用法定继承。
3、遗嘱继承人放弃继承，受遗赠人放弃受遗赠的，适用法定继承。
4、遗嘱继承人丧失继承权，受遗赠人丧失受遗赠权的，适用法定继承。
5、遗嘱全部无效或遗嘱部分无效所涉及的财产，适用法定继承。
6、遗嘱未处分的遗产，适用法定继承。
7、遗嘱继承人或受遗赠人，无正当理由，不履行遗嘱中的合法义务，被人民法院取消遗嘱继承权或受遗赠权的，适用法定继承。
8、为胎儿保留的特定遗产份额，如果胎儿出生时是死体的，其特留份适用法定继承。
因此，遗嘱继承人放弃继承的遗产部分会按照法定继承的顺序进行继承。