太原社保卡挂失的办理的组织是太原市人力资源和社会保障局。
《山西省人力资源和社会保障厅关于印发的通知》
第十七条 社保卡丢失后，要及时办理挂失手续。挂失后，该社保卡所有功能不能使用。挂失分口头挂失和正式挂失。办理口头挂失，可通过人力资源社会保障12333咨询服务电话和合作银行客服电话办理。办理正式挂失时，需持本人有效身份证件原件到社保卡综合服务窗口办理社保功能正式挂失手续，并到合作银行社保卡业务窗口办理金融功能的正式挂失手续。委托他人代理的，还应提供代理人有效身份证件原件。