汾汽车租赁经营许可办理的机构是临汾市交通运输局。
《山西省道路运输条例》
第三十三条 从事汽车租赁经营的，应当在取得工商营业执照后，向设区的市道路运输管理机构提出申请。道路运输管理机构应当自受理申请之日起十五日内审查完毕，作出许可或者不予许可的决定。
《山西省汽车租赁管理办法》
第七条 从事汽车租赁经营的，应当在取得工商营业执照后，向所在设区的市道路运输管理机构提出申请，并提供以下材料：
(一)《汽车租赁经营许可申请表》5份;
(二)《企业法人营业执照》副本复印件并加盖其公章，企业章程，法定代表人身份证及复印件，经办人身份证及其复印件和委托书;
(三)经营场所、停车场产权证明或合法租用证明及其复印件;
(四)机动车登记证书和机动车行驶证原件及其复印件;
(五)安全生产管理制度文本。